Як знайти другу похідну функції
Відео: 0602 Друга похідна. Похідні вищих порядків
Диференціальні обчислення - розділ математичного аналізу, який вивчає похідні першого і вищих порядків як один з методів дослідження функцій. Друга похідна деякої функції виходить з першої повторним диференціюванням.
1
похідна деякої функції в кожній точці має певне значення. Таким чином, при її диференціюванні виходить нова функція, яка також може бути диференційована. У цьому випадку її похідна називається другої похідної вихідної функції і позначається Frsquo-rsquo- (x).
2
Першою похідною називається межа збільшення функції до приросту аргументу, тобто: Frsquo- (x) = lim (F (x) - F (x_0)) / (x - x_0) при x -gt; 0.Второй похідною вихідної функції є похідна функції Frsquo- (x) в тій же точці x_0, а саме: Frsquo-rsquo- (x) = lim (Frsquo- (x) - Frsquo- (x_0)) / (x - x_0).
3
Для знаходження других похідних складних функцій, які важко визначити звичайним способом, застосовують методи чисельного диференціювання. При цьому для розрахунку використовують наближені формули: Frsquo-rsquo- (x) = (F (x + h) - 2 * F (x) + F (x - h)) / h ^ 2 +? (H ^ 2) Frsquo -rsquo- (x) = (-F (x + 2 * h) + 16 * F (x + h) - 30 * F (x) + 16 * F (x - h) - F (x - 2 * h )) / (12 * h ^ 2) +? (h ^ 2).
4
Основа методів чисельного диференціювання - апроксимація інтерполяційним многочленом. Наведені формули виходять в результаті подвійного диференціювання інтерполяційних многочленів Ньютона і Стірлінга.
5
Параметр h є кроком апроксимації, прийнятим для розрахунків, а? (H ^ 2) - це похибка апроксимації. Аналогічно? (H) для першої похідної ця нескінченно мала величина обернено пропорційна h ^ 2. Відповідно, вона тим більше, чим менше довжина кроку. Тому для мінімізації похибки важливо вибрати найоптимальніше значення h.Вибор оптимального значення h називається регуляризації по кроку. При цьому вважають, що є таке значення h, що вірно: | F (x + h) - F (x) | gt; ?, Де? - деяка мала величина.
6
Існує інший алгоритм мінімізації похибки апроксимації. Він полягає у виборі декількох точок області значень функції F поблизу початкової точки x_0. Потім обчислюються значення функції в цих точках, за якими будується лінія регресії, яка є згладжує для F на малому інтервалі.
7
отримані значення функції F є часткову суму ряду Тейлора: G (x) = F (x) + R, де G (x) - згладжена функція з похибкою апроксимації R. Після дворазового диференціювання отримаємо: Grsquo-rsquo- (x) = Frsquo-rsquo- (x) + Rrsquo-rsquo-, звідки Rrsquo-rsquo- = Grsquo-rsquo- (x) - Frsquo-rsquo- (x) Величина Rrsquo-rsquo- як відхилення наближеного значення функції від її справжнього значення і буде мінімальною похибкою апроксимації.
Математичні методи застосовуються в багатьох областях науки. Це твердження стосується, зокрема, диференціального обчислення. Наприклад, якщо обчислити другу похідну функції відстані від змінної часу, то можна знайти прискорення матеріальної точки.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як знайти критичні точки функції
- Як побудувати графік заданої функції
- Як знаходити проміжки зростання та спадання
- Як визначити критичні точки
- Як вирішити функцію
- Як знайти похідну функції
- Як обчислити приватну похідну
- Як визначити область значення функції
- Як визначити нулі функції
- Як обчислити другу похідну
- Як знайти похідну першого порядку
- Як знайти градієнт функції
- Як визначити вид диференціального рівняння
- Як продифференцировать функцію
- Як визначити область значень
- Як знайти область визначення функції
- Як знаходити нулі функції
- Як побудувати поліном
- Як знайти значення функції
- Як розрахувати похідну
- Як знайти похідну