Як побудувати еліпс циркулем

Підготуйте все для того, щоб почати побудову. Для цього проведіть дві лінії, перпендикулярні один одному. Точку, в якій вони перетинаються, позначте буквою «O». Це і буде центр майбутнього еліпса.

Визначтеся з основними значеннями. У еліпса є велика і мала півосі. Перед побудовою позначте їх a і b відповідно. Як правило, довжина цих двох відрізків дається в умові завдання на побудову еліпса.

Візьміть циркуль і встановіть розчин таким чином, щоб він дорівнював довжині відрізка a. Далі встановіть циркуль в точці O і відзначте на одній з прямих дві точки - P1 і P2. Після цього розчином циркуля, рівним відрізку b, позначте дві точки на другий прямий і назвіть їх Q1 і Q2. Утворені два відрізки P1P2 і Q1Q2 є великою і малою осями майбутнього еліпса, а самі точки - його вершинами.

Знайдіть фокуси еліпса. Для цього розчин повинен бути рівний відрізку a. Встановіть циркуль в точці Q1 або Q2 і позначте на відрізку P1P2 дві точки F1 і F2.

Відзначте на відрізку P1P2 будь-яку точку і назвіть її T. Потім, встановивши циркуль в цій точці, виміряйте їм відстань до P1, після чого накресліть коло даного радіуса з центром в точці F1. Далі накресліть ще одну окружність з радіусом, рівним відстані від точки T до точки P2, з центром в F2.

Відзначте точки перетину двох одержані кіл. Вони належать шуканого еліпсу. Для того щоб накреслити весь еліпс, вам доведеться повторити описані в попередньому пункті дії з уже новими точками, довільно зазначеними на відрізку P1P2.

Після того як ви знайдете достатню кількість точок перетину, з`єднайте їх суцільною лінією. Це і буде шуканий еліпс.

Еліпсом називається крива, що складається з усіх точок площини, що відповідають наступним критерієм: сума відстаней від двох точок цієї площини є постійною величиною. Існують три способи побудови цієї кривої за допомогою нитки, вписуванням в коло і по двох кіл. для побудови еліпса першим способом вам будуть потрібні дві шпильки, які необхідно прикріпити до паперу, утворивши тим самим дві нерухомі точки F1 і F2, а також олівець, за допомогою якого буде будуватися еліпс. Розташувавши шпильки зазначеним чином, трохи вище відзначте точку М, таким чином, щоб було справедливо співвідношення MF1 gt; MF2. Натягуючи нитку і пересуваючи олівець, опишіть витягнуту лінію, яка і буде еліпсом. Відстань між точками F1 і F2 називається фокусною відстанню, а самі ці точки - фокусами.

Якщо відрізок з фокусною відстанню прокреслити до його перетину з еліпсом, вийде велика вісь еліпса - AB. Відповідно, якщо через центр еліпса O провести пряму, перпендикулярну AB і має обидва кінці на лінії еліпса, то вийде мала вісь еліпса, звана DC. Все це показано на малюнку 1. Канонічне рівняння еліпса виглядає наступним чином: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1, де a = AO = OB, b = DO = OC

Другий спосіб побудови еліпса грунтується на вписування його в коло. Для цього на великий осі еліпса побудуйте коло. Велика вісь еліпса A1A2 буде для окружності діаметром. З точки окружності, заданої довільно, проведіть перпендикуляр до великої осі еліпса. Його довжину поділіть на деяку, заздалегідь задану величину, після чого відзначте на перпендикуляре відрізок, довжина якого дорівнює результату ділення - його кінець і буде однією з точок еліпса. Потім побудуйте іншу пряму, паралельну попередньої, і виконайте з нею те ж саме. Чим більше разів ви повторите цю операцію, тим точніше буде побудований еліпс. Так можна побудувати нескінченну кількість еліпсів, вписаних в коло. Цей простий спосіб побудови по точкам описаний в книзі А. І. Маркушевича "Чудові криві".

Згідно з третім способом, еліпс будується по двох кіл. Для цього прокреслите спочатку першу окружність, діаметр якої дорівнює великої осі еліпса, а потім другу, діаметр якої дорівнює передбачуваному фокусної відстані еліпса. Велику окружність розділіть на кілька частин прямими, проведеними через центр кола. Потім проведіть через велику окружність прямі, паралельні CD, а через меншу - паралельні AB, таким чином, щоб ці прямі між собою перетиналися, як показано на малюнку 2. Точки перетину цих прямих і будуть точками еліпса. Поєднавши їх між собою, ви отримаєте еліпс.