Як знайти сторону основи піраміди

У шкільному курсі геометрії розглядаються головним чином піраміди, в підставі яких лежить правильний багатокутник, тобто такий, у якого всі сторони рівні. Проекція вершини піраміди збігається з центром її заснування. Накресліть піраміду, в основі якої лежить рівносторонній трикутник. В умовах можуть бути дані:
- довжина бічного ребра піраміди і кут його з ребром між бічною гранню і основаніем-
- довжина бічного ребра і висота бічної грані-
- довжина бічного ребра і висота піраміди.

Якщо відомі бічне ребро і кут, завдання вирішується трохи інакше. Згадайте, що собою являє кожна бічна грань піраміди, в основі якої лежить рівносторонній багатокутник. Це трикутник. Проведіть його висоту, яка одночасно є бісектрисою і медіаною. Тобто половина боку підстави a / 2 = L * cosA, де а - сторона підстави піраміди, L - довжина ребра. Щоб знайти розмір сторони підстави, достатньо отриманий результат помножити на 2.

Якщо в задачі дано висота бічної грані і довжина ребра, знайдіть сторону підстави по теоремі Піфагора. Бічна грань в даному випадку буде гіпотенузою, відома висота -з одним з катетів. Щоб знайти довжину другого катета, потрібно з квадрата гіпотенузи відняти квадрат другого катета, тобто (a / 2) 2 = L2-h2, де а - сторона підстави, L - довжина бокової грані, h - висота бічної грані.

В цьому випадку потрібно виконати додаткове побудова, щоб можна було оперувати тригонометричними функціями. Вам дано бічне ребро L і висота піраміди H, яка з`єднує вершину піраміди з центром підстави. З точки перетину висоти з площиною основи проведіть відрізок, з`єднавши цю точку з одним з кутів підстави. У вас вийшов прямокутний трикутник, гипотенузой якого є бічне ребро, одним з катетів - висота піраміди. За цими даними легко знайти другий катет трикутника, для цього досить з квадрата бічного ребра L відняти квадрат висоти H. Подальші дії залежать від того, яка саме фігура лежить в основі.

Згадайте властивості рівностороннього трикутника. У нього висоти одночасно є биссектрисами і медианами. У точці перетину вони діляться навпіл. Тобто виходить, що ви знайшли половину висоти підстави. Для зручності обчислень проведіть всі три висоти. Ви побачите, що відрізок, квадрат довжини якого ви вже знайшли, є гіпотенузою прямокутного трикутника. Вийміть квадратний корінь. Вам відомий і гострий кут - 30 °, так що знайти половину боку підстави не складе особливих труднощів, застосувавши теорему косинусів.

Для піраміди, в основі якої лежить правильний чотирикутник, алгоритм буде тим же самим. Якщо ви відніміть з квадрата бічного ребра квадрат висоти піраміди, отримаєте зведену в квадрат половину діагоналі підстави. Вийміть корінь, знайдіть розмір діагоналі, яка одночасно є гіпотенузою рівнобедреного прямокутного трикутника. Розмір кожного з катетів знайдіть по теоремі Піфагора, синусів або косинусів.