Як знайти за трьома сторонами площа трикутника

Нехай задана трикутник ABC зі сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Площа такого трикутника можна знайти за формулою Герона.

Периметр трикутника P - це сума довжин його трьох сторін: P = a + b + c. Позначимо його напівпериметр за p. Він буде дорівнює p = (a + b + c) / 2.

Формула Герона для площі трикутника виглядає наступним чином: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S = sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) = (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Можна вивести формулу для площі трикутника і з інших міркувань, наприклад, застосувавши теорему косинусів.

По теоремі косинусів AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Використовуючи введені позначення, ці вирази можна також записати у вигляді: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Звідси, cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Площа трикутника знаходиться також по формулі S = a * c * sin (ABC) / 2 через дві сторони і кут між ними. Синус кута ABC можна виразити через його косинус за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin (ABC) = sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Підставляючи синус в формулу для площі і розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.