Як знайти кути трикутника за трьома його сторонам

Нехай заданий трикутник зі сторонами a, b і с. При цьому сума довжин двох будь-яких сторін трикутника повинна бути більше довжини третьої сторони, тобто a + b # 62-c, b + c # 62-a та a + c # 62-b. І необхідно знайти градусну міру всіх кутів цього трикутника. Нехай кут між сторонами a і b позначений як # 945-, кут між b і c як # 946-, а кут між c і a як # 947-.

Теорема косинусів звучить так: квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших довжин його сторін мінус подвоєний добуток цих довжин сторін на косинус кута між ними. Тобто складіть три рівності: a # 178- = b # 178- + c # 178--2xbxcxcos (# 946 -) - b # 178- = a # 178- + c # 178--2xaxcxcos (# 947 -) - c # 178- = a # 178- + b # 178--2xaxbxcos (# 945-).

З отриманих рівностей висловіть косинуси кутів: cos (# 946 -) = (b # 178- + c # 178 - a # 178 -) # 247- (2xbxc) - cos (# 947 -) = (a # 178- + c # 178 - b # 178 -) # 247- (2xaxc) - cos (# 945 -) = (a # 178- + b # 178 - c # 178 -) # 247- (2xaxb). Тепер, коли відомі косинуси кутів трикутника, щоб знайти самі кути скористайтеся таблицями Брадіса або візьміть з цих виразів арккосинуса: # 946- = arccos (cos (# 946 -)) - # 947- = arccos (cos (# 947 -)) - # 945- = arccos (cos (# 945-)).

Наприклад, нехай a = 3, b = 7, c = 6. Тоді cos (# 945 -) = (3 # 178- + 7 # 178--6 # 178 -) # 247- (2x3x7) = 11/21 і # 945- # 8776-58,4 # 176-- cos (# 946 -) = (7 # 178- + 6 # 178--3 # 178 -) # 247- (2x7x6) = 19/21 і # 946- # 8776-25,2 # 176-- cos (# 947 -) = (3 # 178- + 6 # 178--7 # 178 -) # 247- (2x3x6) = - 1/9 і # 947- # 8776-96,4 # 176-.

Цю ж задачу можна вирішити іншим способом через площу трикутника. Спочатку знайдіть напівпериметр трикутника за формулою p = (a + b + c) # 247-2. Потім порахуйте площа трикутника за формулою Герона S = # 8730- (px (p-a) x (p-b) x (p-c)), тобто площа трикутника дорівнює квадратному кореню з добутку напівпериметр трикутника і різниць напівпериметр і кожної зі сторін трикутника.

З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох сторін на синус кута між ними. Виходить S = 0,5xaxbxsin (# 945 -) = 0,5xbxcxsin (# 946 -) = 0,5xaxcxsin (# 947-). Тепер з цієї формули висловіть синуси кутів і підставте отримане в 5 кроці значення площі трикутника: sin (# 945 -) = 2xS # 247- (axb) - sin (# 946 -) = 2xS # 247- (bxc) - sin (# 947 -) = 2xS # 247- (axc). Таким чином, знаючи синуси кутів, щоб знайти градусну міру, використовуйте таблиці Брадіса або порахуйте арксинуса цих виразів: # 946- = arccsin (sin (# 946 -)) - # 947- = arcsin (sin (# 947 -)) - # 945- = arcsin (sin (# 945-)).

Наприклад, нехай дано такий же трикутник зі сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Напівпериметр дорівнює p = (3 + 7 + 6) # 247-2 = 8, площа S = # 8730- (8x (8-3) x (8-7) x (8-6)) = 4 # 8730-5 . Тоді sin (# 945 -) = 2x4 # 8730-5 # 247- (3x7) = 8 # 8730-5 / 21 і # 945- # 8776-58,4 # 176-- sin (# 946 -) = 2x4 # 8730-5 # 247- (7x6) = 4 # 8730-5 / 21 і # 946- # 8776-25,2 # 176-- sin (# 947 -) = 2x4 # 8730-5 # 247- (3x6) = 4 # 8730-5 / 9 і # 947- # 8776-96,4 # 176-.